Question

12．已知△ABC内接于⊙O，BD⊥AO于点D．
（1）如图1，求证：∠ABD=∠ACB；
（2）如图2，延长BD，依次交AC，⊙O于点E，F，若∠ABC=2∠ACB，求证：BF=AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接FO并延长，交AC边于点G，交BC边于点H，若FH=6，AB=5，求线段OH的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，延长AD交⊙O于H，连接BH．首先证明∠ABD=∠H，由∠H=∠ACB即可证明．
（2）由（1）可知，∠ABD=∠ACB，由∠ABC=2∠ACB，推出∠FBC=∠C，推出$\widehat{FC}$=$\widehat{AB}$，推出$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，推出BF=AC．
（3）如图3中，连接AF、CF、AH．首先证明四边形AFCH是平行四边形，推出FG=GH=3，在Rt△AGF中，AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，设OA=OF=r，
在Rt△AOG中，由OA²=AG²+OG²，可得r²=4²+（r-3）²，求出r即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，延长AD交⊙O于H，连接BH．

∵AB是直径，
∴∠ABH=90°，
∴∠ABD+∠HBD=90°，
∵BD⊥AH，
∴∠BDH=90°，
∴∠H+∠HBD=90°，
∴∠H=∠ABD，
∵∠H=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACB．

（2）证明：如图2中，

由（1）可知，∠ABD=∠ACB，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠FBC=∠C，
∴$\widehat{FC}$=$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{AC}$，
∴BF=AC．

（3）解：如图3中，连接AF、CF、AH．

由（2）可知∠ABF=∠ACB=∠FBC=∠ACF，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{AB}$，
∴AF=FC=AB=5，OF⊥AC，∠FAC=∠ACB，
∴AG=GC，AF∥CH，
在△AFG和△CHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAG=∠HCG}\\{AG=GC}\\{∠AGF=∠CGH}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△CHG，
∴AF=CH，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴FG=GH=3，
在Rt△AGF中，AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，设OA=OF=r，
在Rt△AOG中，∵OA²=AG²+OG²，
∴r²=4²+（r-3）²，
解得r=$\frac{25}{6}$，
∴OG=$\frac{7}{6}$，
∴OH=GH-OG=3-$\frac{7}{6}$=$\frac{11}{6}$．

点评 本题考查圆综合题、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．