Question

4．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于E，则DE的长为2．

Answer 1

分析 如图作EH⊥AB于H．由EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，推出EH=EO，设EH=EO=a，则BE=$\sqrt{2}$a，可得a+$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$，解得a=2-$\sqrt{2}$，由此解决问题．（也可以证明∠DAE=∠DEA=67.5°，推出DA=DE=2．）

解答 解：如图作EH⊥AB于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，BD=AC=2$\sqrt{2}$，OD=OB=$\sqrt{2}$，
∵EA平分∠BAO，EH⊥AB，EO⊥AC，
∴EH=EO，设EH=EO=a，则BE=$\sqrt{2}$a，
∴a+$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$，解得a=2-$\sqrt{2}$，
∴DE=OD+OE=$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=2．
（也可以证明∠DAE=∠DEA=67.5°，推出DA=DE=2．）
故答案为2．

点评 本题考查正方形的性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用计算角度的方法证明DA=DE比较简单，属于中考常考题型．