Question

16．如图，在坐标系中△ABO为直角三角形，且∠A=30°，点B（0，6）．现有一动点P从点B出发向点A移动；另有一条平行于y轴的直线l从点A出发，沿着x轴向左运动．若点P与直线l同时出发，且运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t（s），设直线l与线段AO交点为Q，与x轴交点为R，是否存在这样的时间t，使得△APQ为等腰三角形？若存在，求出这样的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 存在这样的时间t，使得△APQ为等腰三角形，分三种情况考虑：若PQ=AQ，如图1所示；若AP=AQ，如图2所示；若AP=PQ，如图3所示，根据题意分别求出各自t的值即可．

解答 解：存在这样的时间t，使得△APQ为等腰三角形，
分三种情况考虑：
若PQ=AQ，如图1所示，

由题意得：BP=AM=t，
∵△APQ为等腰三角形，且QM⊥AP，
∴AM=PM=t，
∵Rt△AOB中，∠A=30°，BO=6，
∴OA=12，AB=6$\sqrt{3}$，
∴t+t+t=6$\sqrt{3}$，
解得：t=2$\sqrt{3}$s；
若AP=AQ，如图2所示，

由题意得：BP=AM=t，AP=AB-BP=6$\sqrt{3}$-t，
在Rt△AMQ中，AQ=$\frac{AM}{cos30°}$=$\frac{t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
∴6$\sqrt{3}$-t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，
解得：t=$\frac{6\sqrt{3}}{1+\frac{2\sqrt{3}}{3}}$=18（2-$\sqrt{3}$）=（36-18$\sqrt{3}$）s；
若AP=PQ，如图3所示，

由题意得：BP=AM=t，AP=6$\sqrt{3}$-t，
在Rt△MQP中，MQ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，∠MQP=30°，
∴PQ=$\frac{MQ}{cos30°}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}t}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$t，
∴6$\sqrt{3}$-t=$\frac{2}{3}$t，
解得：t=$\frac{18\sqrt{3}}{5}$s，
综上，存在这样的时间t，使得△APQ为等腰三角形，t的值为2$\sqrt{3}$s；（36-18$\sqrt{3}$）s；$\frac{18\sqrt{3}}{5}$s．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角函数性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．