Question

6．如图，⊙O的弦AC⊥BD，且$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，若AD=2$\sqrt{2}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 连接OA，OD，BC，CD，先根据圆周角定理得出∠DAE=∠CBE，再由$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$得出$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，故AC=BD，AD=BC，由AAS定理得出△ADE≌△BCE，故AE=BE，由此可知DE=CE，再由AC⊥BD可知∠DEC=90°，故可得出∠ECD=45°，所以∠AOD=90°，再由勾股定理可得出结论．

解答 解：连接OA，OD，BC，CD，
∵∠DAE与∠CAE是$\widehat{CD}$所对的圆周角，
∴∠DAE=∠CBE．
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BD，AD=BC．
在△ADE与△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}∠DAE=∠CBE\\∠AED=∠BEC\\ AD=BC\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE=BE，
∴DE=CE．
∵AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∴∠ECD=45°，
∴∠AOD=90°．
∴△AOD是等腰直角三角形．
∵AD=2$\sqrt{2}$，2AO²=AD²，即2AO²=（2$\sqrt{2}$）²，解得AO=2．
答：⊙O的半径等于2．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．