Question

14．如图1，将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF．

（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）
（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．
（3）在（2）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）根据题意结合图形可以得到答案；
（2）在DF上截取DM=BE，连接AM，根据旋转变换的性质证明△EAF≌△MAF，得到EF=MF，得到答案；
（3）根据三角形周长公式和（2）的结论解答即可．

解答 解：（1）EF=DF-BE；
（2）EF=DF-BE．
证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM．
∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠D=∠ABE．
∵AD=AB，
在△ADM和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=BE}\\{∠D=∠ABE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ABE．
∴AM=AE，∠DAM=∠BAE，
∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠DAM+∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠MAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠EAF=∠MAF，
∵AF是△EAF与△MAF的公共边，
在△EAF和△MAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AM}\\{∠EAF=∠MAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△MAF．
∴EF=MF，
∵MF=DF-DM=DF-BE，
∴EF=DF-BE；
（3）∵EF=DF-BE，
∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=15．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的性质，理解旋转变换中对应边相等、对应角相等、旋转角相等是解题的关键．