Question

9．如图，等边△ABC中，AB=4$\sqrt{3}$，O为三角形中心，⊙O的直径为1，现将⊙O沿某一方向平移，当它与等边△ABC的某条边相切时停止平移，记平移的距离为d，则d的取值范围是1≤d≤2．

Answer 1

分析 如图1所示，由题意可知CD=2$\sqrt{3}$，利用特殊锐角三角函数可求得OD=2，由图2可知OD′=1，由图3可求得AO″=2，从而可求得d的取值范围．

解答 解：如图1所示：延长AO交BC于点D，连接OC．

∵O是等边△ABC的中心，
∴CD=$\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，∠OCD=30°．
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD×2．
如图2所示：

∵圆O的半径为1，
∴O′D=1．
∴OO′=OD-0O′=1．
∴d≥1．
如图3所示：

∵O″E=1，∠O″AE=30°，
∴AO″=2．
∴O″O=2．
∴d≤2．
综上所述，可知：1≤d≤2．
故答案为：1≤d≤2

点评 本题主要考查的是特殊锐角三角函数值、三角形的中心、直线和圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．