Question

6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AO=CO，E，F是AC上的两点，且AE=CF，BE∥DF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若AO=BO，求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）求出OE=OF，根据平行线的性质求出∠DFO=∠BEO，根据ASA推出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出OD=OB，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出AC=BD，根据矩形的判定得出即可．

解答 证明：（1）∵AO=CO，AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF，
∴OE=OF，
∵BE∥DF，
∴∠DFO=∠BEO，
在△BOE和△DOF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEO=∠DFO}\\{OE=OF}\\{∠BOE=∠DOF}\end{array}\right.$
∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）∵△BOE≌△DOF，
∴OD=OB，
∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OD=OB，OA=OC，OA=OB，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．