Question

10．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，则CE=$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 如图，连接EF．首先求出DM、DF的长，证明△DEF∽△DPC，可得$\frac{DF}{DC}$=$\frac{DE}{DP}$，求出DE即可解决问题．

解答 解：如图，连接EF．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，
∴AM=BM=1，
在Rt△ADM中，DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵AM∥CD，
∴$\frac{AM}{DC}$=$\frac{MP}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DP=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，∵PF=$\frac{\sqrt{5}}{6}$，
∴DF=DP=PF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP，
∴△DEF∽△DPC，
∴$\frac{DF}{DC}$=$\frac{DE}{DP}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{2}$=$\frac{DE}{\frac{2\sqrt{5}}{3}}$，
∴DE=$\frac{5}{6}$，
∴CE=CD-DE=2-$\frac{5}{6}$=$\frac{7}{6}$．
故答案为$\frac{7}{6}$．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．