Question

5．已知一个二次函数的关系式为y=x²-（m+1）x+m．
（1）若m=3时，求抛物线顶点坐标：
（2）当-3＜x＜2时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，求m的取值范围；
（3）若该二次函数的图象与x轴有两个交点A、B，线段AB（含端点）的长不大于2，且m为正常数，求m的值．

Answer 1

分析 （1）代入m=3可得抛物线解析式，即可解题；
（2）易得抛物线与x轴固定有一个交点（1，0），即可解题；
（3）根据抛物线与x轴固定有一个交点（1，0）和AB≤2，即可解题．

解答 解：（1）∵m=3时，二次函数关系式为y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线顶点为（2，-1）；
（2）化简y=x²-（m+1）x+m得：y=（x-m）（x-1），
∴抛物线与x轴必有一个交点（1，0），
∵-3＜x＜2时，二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，
∴x=-3时，y=9+3（m+1）+m≤0，解得：m≤-3，
检验得：此时△＞0，
∴m≤-3符合题意；
（3）∵化简y=x²-（m+1）x+m得：y=（x-m）（x-1），
∴二次函数的图象与x轴有两个交点（1，0）（m，0），
∵AB≤2，
∴-1≤m≤3，
∵△＞0，
∴（m+1）²-4m＞0，解得：m≠1，
∴-1≤m＜1或1＜m≤3．

点评 本题考查了抛物线顶点的计算，考查了二次函数与x轴有两个交点需△＞0的性质，本题中求得抛物线与x轴固定有一个交点（1，0）是解题的关键．