Question

20．如图，正方形ABCD的边长为2，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接正方形A₁B₁C₁D₁四边的中点得到第二个正方形A₂B₂C₂D₂…，以此类推，则第五个正方形A₅B₅C₅D₅周长是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A₅B₅C₅D₅的周长．

解答 解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A₁B₁C₁D₁，则得正方形A₁B₁C₁D₁的面积为正方形ABCD面积的一半，即$\frac{1}{2}$，则周长是原来的$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
顺次连接正方形A₁B₁C₁D₁中点得正方形A₂B₂C₂D₂，则正方形A₂B₂C₂D₂的面积为正方形A₁B₁C₁D₁面积的一半，即$\frac{1}{4}$，则周长是原来的$\frac{1}{2}$；
顺次连接正方形A₂B₂C₂D₂得正方形A₃B₃C₃D₃，则正方形A₃B₃C₃D₃的面积为正方形A₂B₂C₂D₂面积的一半，即$\frac{1}{8}$，则周长是原来的$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
…
故第n个正方形周长是原来的$\sqrt{\frac{1}{{2}^{n}}}$，
则第五个正方形A₅B₅C₅D₅周长是8×$\sqrt{\frac{1}{{2}^{5}}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．