题目内容
点P是△ABD中AD边上一点，
（1）如图1，当P为AD中点时，则有S△ABP= S△ABD；
（2）如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，△DBC的面积为S3．
①当AP=
AD时，如图3，试探究S1、S2、S3之间的关系？写出求解过程；
②一般地，当AP=
AD（n表示正整数）时，试探究S1、S2、S3之间的关系？写出求解过程．
（1）如图1，当P为AD中点时，则有S△ABP=
（2）如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC的面积为S1，△ABC的面积为S2，△DBC的面积为S3．
①当AP=
| 1 |
| 2 |
②一般地，当AP=
| 1 |
| n |
考点：三角形的面积
专题：
分析：（1）根据三角形中线的性质可得S△ABP与S△ABD之间的关系；
（2）①根据三角形中线的性质可得S△ABP=
S△ABD，S△CDP=
S△CDA，再根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP可得S1、S2、S3之间的关系；
②根据高相等的两个三角形面积与底边的关系可得S△ABP=
S△ABD，S△CDP=
S△CDA，再根据S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP可得S1、S2、S3之间的关系．
（2）①根据三角形中线的性质可得S△ABP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②根据高相等的两个三角形面积与底边的关系可得S△ABP=
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
解答：解：（1）S△ABP=
S△ABD；
（2）①当AP=
AD时（如图2）：
∵AP=
AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=
S△ABD．
∵PD=AD-AP=
AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=
S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-
S△ABD-
S△CDA
=S四边形ABCD-
（S四边形ABCD-S△DBC）-
（S四边形ABCD-S△ABC）
=
S△DBC+
S△ABC．
②S△PBC=
S△DBC+
S△ABC；
∵AP=
AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=
S△ABD．
又∵PD=AD-AP=
AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=
S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-
S△ABD-
S△CDA
=S四边形ABCD-
（S四边形ABCD-S△DBC）-
（S四边形ABCD-S△ABC）
=
S△DBC+
S△ABC．
∴S△PBC=
S△DBC+
S△ABC．
| 1 |
| 2 |
（2）①当AP=
| 1 |
| 2 |
∵AP=
| 1 |
| 2 |
∴S△ABP=
| 1 |
| 2 |
∵PD=AD-AP=
| 1 |
| 2 |
∴S△CDP=
| 1 |
| 2 |
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=S四边形ABCD-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
②S△PBC=
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
∵AP=
| 1 |
| n |
∴S△ABP=
| 1 |
| n |
又∵PD=AD-AP=
| n-1 |
| n |
∴S△CDP=
| n-1 |
| n |
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
=S四边形ABCD-
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
=
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
∴S△PBC=
| 1 |
| n |
| n-1 |
| n |
点评：考查了三角形的面积，关键是熟悉三角形中线的性质，高相等的两个三角形面积与底边成正比的关系．
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