Question

17．二次函数y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0），点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；
（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；然后利用配方法把该函数解析式转化为顶点式，易求其顶点坐标；
（2）设出点D的坐标，作ED⊥OC于点D，就可以表示出点D的坐标，从而表示出四边形面积的表达式，利用函数的解析式确定其最值，有最大值则点D存在，就可以求出D点的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0），点C（0，2）分别代入y=ax²+$\frac{3}{2}$x+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=a-\frac{3}{2}+c}\\{2=c}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
则该函数解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
因为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$．
所以该抛物线的顶点坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）；

（2）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，
∵A（-1，0），对称轴是x=$\frac{3}{2}$，
∴B（4，0）．
设点D的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），则E点坐标为（0，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）
∴EC=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-2=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a，DE=a
S_{四边形OCDB}=S_梯形OEDB-S_△EDC=$\frac{1}{2}$（a+4）（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）-$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a）
即S=-a²+4a+4=-（a-2）²+8，
当a=2时，S_最大=8，
当a=2时，-$\frac{1}{2}$×4+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴此时点D的坐标是（2，3）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线与x轴的交点坐标、平面图形的面积的计算，抛物线的顶点式的运用等多个知识点，难度比较大．