Question

如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．
（1）求∠E的度数．
（2）求证：M是BE的中点．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；
（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E，然后根据等角对等边，可得：DB=DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．

解答：（1）解：∵三角形ABC是等边△ABC，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=

1

2

∠ACB=30°；
（2）证明：连接BD，

∵等边△ABC中，D是AC的中点，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°
由（1）知∠E=30°
∴∠DBC=∠E=30°
∴DB=DE
又∵DM⊥BC
∴M是BE的中点．

点评：此题考查了等边三角形的有关性质，重点考查了等边三角形的三线合一的性质．