Question

如图，抛物线y=-x²-4x+5交坐标轴于A、B、C三点，点P在第二象限的抛物线上，PF⊥x轴于F点，交AC于E点．若S_△PAE：S_△AEF=2：3，求P点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：先求出C（0，5），A（-5，0），B（1，0），则可判断△OAC为等腰直角三角形，利用PF⊥x轴，也可判断△AEF为等腰直角三角形，所以EF=AF，设P（x，-x²-4x+5）（-5＜x＜0），则AF=x+5，所以EF=x+5，再表示出PE=-x²-5x，根据三角形面积公式得到PE：EF=2：3，即（-x²-5x）：（x+5）=2：3，然后整理解方程得到x₁=-

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，x₂=-5（舍去），再计算出x=-

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时的函数值即可得到点P的坐标．

解答：解：当x=0时，y=-x²-4x+5=5，则C点坐标为（0，5），
当y=0时，-x²-4x+5=0，解得x₁=-5，x₂=1，则A（-5，0），B（1，0），
∵OA=OC，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∵PF⊥x轴，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AF，
设P（x，-x²-4x+5）（-5＜x＜0），则AF=x+5，
∴EF=x+5，
∴PE=-x²-4x+5-（x+5）=-x²-5x，
∵S_△PAE：S_△AEF=2：3，
∴PE：EF=2：3，
即（-x²-5x）：（x+5）=2：3，
整理得3x²+17x+10=0，解得x₁=-

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，x₂=-5（舍去），
∴点P的坐标为（-

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，

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）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．