Question

如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=

 

度．（提示：如图将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′）．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：计算题

分析：先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，于是可将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得到△ACP′，如图，连结PP′，根据旋转的性质得AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，则可判断△APP′为等边三角形，得到∠PP′A=60°，PP′=AP=3，接着利用勾股定理的逆定理证明△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，然后利用∠APB=∠∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C进行计算即可．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得到△ACP′，如图，连结PP′，
∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′为等边三角形，
∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，
在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°．
∴∠APB=150°．
故答案为150．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．