Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点A．
（1）若这个公共点为（2，0），求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象与y轴的交点为B，坐标原点为O，且△OAB是等腰三角形，求该二次函数的表达式，并说明它是如何由（1）中的二次函数的图象平移得到的．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点问题得到点A为抛物线的顶点，然后利用顶点式可写出抛物线解析式；
（2）先根据顶点坐标公式写出顶点A的坐标（-

b

2

，0），根据△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到b²-4c=0，再确定B（0，c），接着利用OA=OB得到c=|-

b

2

|，然后解出c=1，b=2或b=-2，所以当b=2，c=1时，抛物线解析式为y=（x+1）²；当b=-2，c=1时，抛物线解析式为y=（x-1）²，再根据抛物线平移的规律通过平移抛物线y=（x-2）²得到抛物线y=（x+1）²或抛物线y=（x-1）²．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点A，
∴点A为抛物线的顶点，
∴抛物线解析式为y=（x-2）²；
（2）∵二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴只有一个公共点A，
∴点A为抛物线的顶点，且A（-

b

2

，0），b²-4c=0，
当x=0时，y=x²+bx+c=c，则B（0，c），
∵△OAB是等腰三角形，
∴OA=OB，即c=|-

b

2

|，
∴b²=4c²，
∴4c²-c²=0，即得c₁=0（舍去），c₂=1，
∴|-

b

2

|=1，解得b=2或b=-2，
当b=2，c=1时，抛物线解析式为y=x²+2x+1=（x+1）²，它可由抛物线y=（x-2）²向左平移3个单位得到；
当b=-2，c=1时，抛物线解析式为y=x²-2x+1=（x-1）²，它可由抛物线y=（x-2）²向左平移1个单位得到．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数图象与几何变换．