Question

8．如图，△ABC中，点M是AB边的中点，点D是BC边上一个动点，直线DM交射线AG于点E，AG∥BC．
（1）求证：ME=MD；
（2）N是AC的中点，且MN=5．
填空：①若AB=AC，当BD=5时，四边形AEBD是矩形；
②若AB⊥AC，当BD=5时，四边形AEBD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据平行线性质得出∠AEM=∠BDM，求出AM=BM，根据AAS推出△AEM≌△BDM即可；
（2）①根据三角形中位线求出BC长，求出四边形是平行四边形，求出∠ADB=90°，根据矩形的判定推出即可；
②根据直角三角形斜边上中线性质求出AD=DB，根据菱形的判定推出即可．

解答 （1）证明：∵AG∥BC，
∴∠AEM=∠BDM，
∵点M是AB边的中点，
∴AM=BM，
在△AEM和△BDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠BMD}\\{∠AEM=∠BDM}\\{AM=BM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△BDM，
∴ME=MD；

（2）解：①当BD=5时，四边形AEBD是矩形，
理由是：∵点M是AB边的中点，N是AC的中点，MN=5，
∴BC=2MN=10，
∴CD=BD=5，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵EM=DM，AM=BM，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形，
故答案为：5；

②当BD=5时，四边形AEBD是菱形，
理由是：∵点M是AB边的中点，N是AC的中点，MN=5，
∴BC=2MN=10，
∴CD=BD=5，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴AD=BD，
∵四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是菱形，
故答案为：5．

点评 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，三角形的中位线，菱形的判定，平行四边形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．