Question

1．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，QR∥BA，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t为何值时，△APR∽△PRQ？

Answer 1

分析 过Q作QE⊥AB，由QR与AB平行，且三角形ABC为等边三角形，利用平行线的性质得到三角形QRC为等边三角形，得到QR=RC=QC=6-2t，也可根据题目中的数量关系求得PE的长，从而可以推得t为何值时，△APR∽△PRQ．

解答 解：过Q作作QE⊥AB于点E，
∵QR∥BA，△ABC为等边三角形，
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，
∵∠C=60°，
∴△QRC为等边三角形，
∴QR=RC=QC=6-2t，
∵BE=$\frac{1}{2}$×2t=t，
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，
∴EP∥QR，EP=QR，
∴PR=EQ=$\sqrt{3}$t，
∴△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°，
∴tan∠QPR=$\frac{6-2t}{\sqrt{3}t}$=$\sqrt{3}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$，
则当t=$\frac{6}{5}$时，△APR∽△PRQ．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．