Question

18．已知二次函数y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）
（1）当k=$\frac{1}{2}$时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；
（2）求证：关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 （1）把k代入抛物线解析式，然后利用配方法可确定抛物线的顶点坐标；
（2）计算判别式的值，然后判别式的意义进行证明．

解答 （1）解：把k=$\frac{1}{2}$代入y=x²-（2k+1）x+k²+k（k＞0）得y=x²-2x+$\frac{3}{4}$，
因为y=（x-1）²-$\frac{1}{4}$
所以抛物线的顶点坐标为（1，-$\frac{1}{4}$）；
（2）证明：△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
所以关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．