Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；
（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；
（3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的面积分别为S_△ABC、S_△CEF、S_△ADF，且S_△ABC=36，则S_△CEF-S_△ADF=

 

．（仅填结果）

Answer 1

考点：命题与定理,三角形的面积,直角三角形的性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，然后求出∠A+∠ACD=90°，从而得到∠ADC=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，从而得到∠AEC=∠AFD，再根据对顶角相等可得∠AFD=∠CFE，然后等量代换即可得证；
（3）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S_△ACD和S_△ACE，然后根据S_△CEF-S_△ADF=S_△ACE-S_△ACD计算即可得解．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
即CD⊥AB，
证明时应用了“直角三角形两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”；

（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠AEC=∠CFE；

（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，
∴S_△ACD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×36=9，S_△ACE=

1

3

S_△ABC=

1

3

×36=12，
∴S_△CEF-S_△ADF=S_△ACE-S_△ACD
=12-9
=3．
故答案为：3．

点评：本题考查了命题与定理，三角形的面积，直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，（3）利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S_△ACD和S_△ACE是解题的关键．