如图.抛物线y=-x2+bx+c与直线y=mx+n相交于点A．(1)求抛物线和直线AB的解析式．(2)如图1.直线AB上方的抛物线上有一点P.过点P作PQ垂直于AB所在直线.垂足为Q.在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N.连接PN.NM.MB.BP．当线段PQ的长度最大时.求四边形PNMB周长的最小值．(3)如图2.抛物线与y轴交于点C.直线AB交x轴于点E.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．
（1）求抛物线和直线AB的解析式．
（2）如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．
（3）如图2，抛物线与y轴交于点C，直线AB交x轴于点E，点D（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），连接CD，将CD所在的直线绕着点D顺时针旋转90°，所得直线交直线AB于点H，将直线DH沿着x轴正方向平移得到直线D₁H₁，其中点H₁为直线D₁H₁与直线AB的交点，D₁为直线D₁H₁与x轴的交点，当点D₁平移到点E时平移结束，连接BD₁．当△BD₁H₁是等腰三角形时，试求出点D₁的坐标．

分析（1）把点A（1，8）和点B（5，4）代入抛物线y=-x²+bx+c与直线y=mx+n的解析式即可解决问题．
（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，-m²+5m+4）
构建二次函数，确定点P坐标，作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．
（3）分三种情形讨论①当D₁B=D₁H₁时，作BN⊥x轴于N，解直角三角形△BD₁N即可；②当BD₁=BH₁时，如图3中，作BN⊥DE于N．因为∠NBD₁=15°，BN=4，把△BND₁放大得到图4，在BN上取一点M，使得BM=MD₁，则∠MBD₁=∠MD₁B=15°，∠NMD₁=30°，设ND₁=a，则MD₁=MB=2a，MN=$\sqrt{3}$a，BD₁=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，列出方程即可解决问题；③当H₁B=H₁D时，如图5中，由∠D₁BN=7.5°，把△BD₁N放大，如图6中，在BN上截取BM=MD₁，KM=KD₁，设ND₁=a，由②可知，MK=KD₁=2a，KN=$\sqrt{3}$a，BM=MD₁=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，列出方程即可解决问题．

解答解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与直线y=mx+n相交于点A（1，8）和点B（5，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=8}\\{-25+5b+c=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=8}\\{5m+n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{c=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=9}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+5x+4，直线y解析式为=-x+9．

（2）如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E（0，9），F（9，0），连接PE、PF、PO．

当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P（m，-m²+5m+4）
∵S_△PEF=S_△POE+S_△POF-S_△EOF=$\frac{1}{2}$×9×m+$\frac{1}{2}$×9×（-m²+5m+4）-$\frac{1}{2}$×9×9=-$\frac{9}{2}$（m-3）²+18，
∵-$\frac{9}{2}$＜0，
∴m=3时，△PEF的面积最大值为18，此时P（3，10），
作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．
理由：四边形PNMB周长=PN+MN+MB+PB=P′N+MN+MB′+PB=P′B′+PB，
∵PB是定长，两点之间线段最短，
∴此时四边形PNMB周长最小．
∵P′（-3，10），B′（5，-4），
∴P′B′=$\sqrt{{8}^{2}+1{4}^{2}}$=2$\sqrt{65}$，
∵PB=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴四边形PNMB周长的最小值为2$\sqrt{65}$+2$\sqrt{10}$．

（3）如图2中，

∵C（0，4），D（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴OC=4，OD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠ODC=$\frac{OC}{OD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠CDO=60°，
∵CD⊥DH，
∴∠HDE=30°，
∵OF=OF，
∴∠OFE=∠OEF=45°，
∴∠AHD=∠BH₁D₁=75°，
①当D₁B=D₁H₁时，作BN⊥x轴于N．
∵∠D₁BH₁=∠D₁H₁B=75°，
∴∠BD₁H₁=30°，
∵D₁H₁∥DH，
∴∠EDH=∠ED₁H₁=30°，
∴∠BD₁N=60°，
在Rt△BD₁N中，∵D₁N=NB•tan30°，
∴D₁N=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵ON=5
∴OD₁=5-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴D₁坐标为（5-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）．

②当BD₁=BH₁时，如图3中，作BN⊥DE于N．

∵∠NBD₁=15°，BN=4，把△BND₁放大得到图4，
在BN上取一点M，使得BM=MD₁，则∠MBD₁=∠MD₁B=15°，∠NMD₁=30°，
设ND₁=a，则MD₁=MB=2a，MN=$\sqrt{3}$a，BD₁=$\sqrt{{a}^{2}+（2a+\sqrt{3}a）^{2}}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，（后面有用），
∴2a+$\sqrt{3}$a=4，
∴a=4（2-$\sqrt{3}$）M
∴OD₁=5+4（2-$\sqrt{3}$）=13-4$\sqrt{3}$，
∴D₁坐标为（13-4$\sqrt{3}$，0）．

③当H₁B=H₁D时，如图5中，

∵∠H₁BD₁=∠H₁D₁B=$\frac{1}{2}$（180°-75°）=52.5°，∠NHE=45°，
∴∠D₁BN=7.5°，把△BD₁N放大，如图6中，
在BN上截取BM=MD₁，KM=KD₁，设ND₁=a，
由②可知，MK=KD₁=2a，KN=$\sqrt{3}$a，BM=MD₁=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a，
∴$\sqrt{3}$a+2a+（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）a=4，
∴a=$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}$，
∴OD₁=5-$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}$，
∴D₁坐标为（5-$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}$，0）．
综上所述，当△BD₁H₁是等腰三角形时，D₁的坐标为（5-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）或（13-4$\sqrt{3}$，0）或（5-$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}$，0）．