Question

4．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D点，写出AT、CD与BD之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 在BD上截取BF=CD，连接AF、AD，求出∠ACD=∠ABF，由SAS证明△ABF≌△ACD全等，推出AF=AD，证出△FAD是等腰直角三角形，即可得出答案．

解答 解：AT=$\frac{1}{2}$（BD-CD），理由如下：
在BD上截取BF=CD，连接AF、AD，如图所示：
∵CD⊥BD，
∴∠CDE=∠BAE=90°，
∵∠AEB=∠DEC，∠ABF+∠AEB+∠BAE=180°，∠DCE+∠DEC+∠CDE=180°，
∴∠ABF=∠DCE，
在△ABF和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠ABF=∠ACD}&{\;}\\{BF=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF=AD，∠BAF=∠DAC，
∵∠BAC=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠DAC+∠FAE=∠FAD=90°，
即△FAD是等腰直角三角形，
∵AT⊥DF，
∴FT=TD，
∴AT=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$（BD-CD）．

点评 本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用；解此题的关键是求出△FAD是等腰直角三角形，题目比较好，有一定的难度．