Question

13．如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长为4π，AF=CE，P是边BC上的动点，连结AP、DP，则AP+DP的最小值是24$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由弧DE的长度为4π，可以求得∠DOE的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明DE∥BC，证得∠DEF=∠C=90°，得出FD是⊙0的直径，求得∠EFD=$\frac{1}{2}$∠EOD=30°，解直角三角形求得EF=12$\sqrt{3}$，进而求得AE=4$\sqrt{3}$，AD=8$\sqrt{3}$，进一步求得CA=20$\sqrt{3}$，AB=40$\sqrt{3}$，BC=60，根据三角形相似求得DK，即可求得DD′，解直角三角形求得DH、D′H，最后根据勾股定理求得AD′．

解答 解：连接OD、OE，
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，∴∠ODA=90°，
又∵弧DE的长度为4π，
∴4π=$\frac{nπ×12}{180}$，
∴n=60，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE=60°，
∴∠EDA=30°，
∴∠B=∠EDA，
∴DE∥BC．
∴∠DEF=∠C=90°，
∴FD是⊙0的直径，
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$∠EOD=30°，
∵FD=24，
∴EF=12$\sqrt{3}$，
又∵∠EDA=30°，DE=OE=OD=12，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
∴AD=8$\sqrt{3}$，
又∵AF=CE，
∴AE=CF，
∴CA=AE+EF+CF=20$\sqrt{3}$，
∴AB=40$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=60，
作D关于BC的对称点D′，DD′交BC于K，连接AD′，交BC于P，此时AP+DP的值最小，等于AD′，
∵∠DEF=∠C=90°，DD′⊥BC，
∴四边形EDKC是矩形，
∴DD′∥AC，
∴△DBK∽△ABC，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{DK}{AC}$，即$\frac{40\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{40\sqrt{3}}$=$\frac{DK}{20\sqrt{3}}$，
∴DK=16$\sqrt{3}$，
∴DD′=32$\sqrt{3}$，
作D′H⊥AB于H，
∵∠KDB=∠BAC=60°，
∴DH=$\frac{1}{2}$DD′=16$\sqrt{3}$，D′H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DD′=48，
∴AH=8$\sqrt{3}$+16$\sqrt{3}$=24$\sqrt{3}$，
∴AD′=$\sqrt{A{H}^{2}+DH{′}^{2}}$=24$\sqrt{7}$．
故答案为24$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，轴对称-最短路线问题，解答本题的关键在于90°的圆周角对的弦是直径这一性质的灵活运用．