Question

9．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC上一点，连接DE．
（1）如图1，若∠CDE=45°，BE=AD，求证：DC=DE；
（2）在（1）的条件下，过E作EF⊥AB于F，求$\frac{EF}{CE}$的值；
（3）如图2，过E作EF⊥BD于F，若DC=DE，求证：AB=2DF．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，证出∠BDE=∠ACD，由ASA证明△ACD≌△BDE，得出对应边相等即可；
（2）作DH⊥BC于H，则DH∥AC，CH=EH，∠CDH=∠EDH，由平行线和等腰三角形的性质得出∠ACD=∠CDH=∠EDH=∠BDE，由AAS证明△HDE≌△FDE，得出EF=EH=CH，即可得出结论；
（3）作DM⊥AC于M，则△ADM是等腰直角三角形，四边形DMCH是矩形，由等腰直角三角形和矩形的性质得出CH=DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，因此CE=$\sqrt{2}$AD，同理得出BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC-AD，得出AD+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，由等腰直角三角形的性质得出AB=$\sqrt{2}$BC=2（AD+BF），得出DF=AD+BF，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠BDE+∠CDE，∠CDE=45°=∠A，
∴∠BDE=∠ACD，
在△ACD和△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{AD=BE}&{\;}\\{∠ACD=∠BDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BDE（ASA），
∴DC=DE；
（2）解：作DH⊥BC于H，如图1所示：
则DH∥AC，CH=EH，∠CDH=∠EDH，
∴∠ACD=∠CDH=∠EDH=∠BDE，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD=90°=∠EHD，
在△HDE和△FDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EHD=∠EFD}&{\;}\\{∠EDH=∠BDE}&{\;}\\{DE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△HDE≌△FDE（AAS），
∴EF=EH=CH，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{2}$；
（3）证明：作DM⊥AC于M，如图2所示：
则△ADM是等腰直角三角形，四边形DMCH是矩形，
∴CH=DM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
∴CE=$\sqrt{2}$AD，
同理：BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BC-CE）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（BC-$\sqrt{2}$AD）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC-AD，
∴AD+BF=AD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC-AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴AB=$\sqrt{2}$BC=2（AD+BF），
∴DF=AD+BF，
∴AB=2DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．