Question

11．观察下列等式：1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$，3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，…
（1）请你按照这个规律写出第四个等式4×$\frac{4}{5}$=4-$\frac{4}{5}$；
（2）猜想并写出第n个等式；
【猜想】n×$\frac{n}{n+1}$=n+$\frac{n}{n+1}$
（3）证明你写出的等式的正确性．

Answer 1

分析 （1）（2）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个因数减去第二个因数；由此规律解决问题；
（3）把左边进行整式乘法，右边进行通分

解答 （1）解：第四个等式4×$\frac{4}{5}$=4-$\frac{4}{5}$；
（2）解：猜想第n个等式：n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$；
（3）证明：∵左边=n×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
右边=n-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n（n+1）-n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$；
左边=右边，
∴n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$．

点评 此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．该规律实质上是运用了分式的加法运算法则．