Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，O是AC的中点，连接DO，过点C作CE∥DA，交DO的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若F是CE上的动点（点F不与C、E重合），连接AF、DF、BE，请直接写出图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形（四边形ABDF除外）

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定求出△ADO≌△CEO，求出OD=OE，根据平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；
（2）根据面积公式和等底等高的三角形的面积相等得出即可．

解答 （1）证明：∵CE∥DA，
∴∠OCE=∠OAD，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
在△ADO和△CEO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠DOA=∠EOC}\end{array}\right.$
∴△ADO≌△CEO（ASA），
∴OD=OE，
∵OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）解：图2中与四边形ABDF面积相等的所有的三角形和四边形有△ABC，△BCE，矩形ADCE，四边形ABDE，
理由是：∵△ACD和△AFD的面积相等（等底等高的三角形面积相等），
∴S_△ADC=S_△ADF，
∴S_△ADC+S_△ADB=S_△ADF+S_△ADB，
∴S_{四边形ABDF}=S_△ABC；
∵S_△BCE=S_△ABC，
∴S_{四边形ABDF}=S_△BCE；
∵S_△ADB=S_△ADC，S_△ADF=S_△AEC，
∴S_{四边形ABDF}=S_矩形ADCE；
∵S_△ADF=S_△ADE，
∴都加上△ADB的面积得：S_{四边形ABDF}=S_{四边形ABDE}．

点评 本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形．