Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，BC=4，⊙O内切于△ABC，D，E，F为切点，直线CO交AB于点G．求DG的长．

Answer 1

分析 连接OD，OE，OF过点G作GH⊥BC，垂足为H，设GH=x，根据内心的定义和性质得出OD=OE=OF，∠BCG=45°，从而得出CH=x，四边形CEOF为正方形，由勾股定理得出OC=$\sqrt{2}$，再证明△BGH∽△BAC，得出GH，再证△COF∽△CGH，得出OG，利用勾股定理得出DG即可．

解答 解：连接OD，OE，OF，过点G作GH⊥BC，垂足为H，
设GH=x，∵⊙O内切于△ABC，
∴OD=OE=OF，∠BCG=45°，
∴CH=x，四边形CEOF为正方形，
∵AC=3，BC=4，
3-CF+4-CF=5，
∴CF=1，
∴OC=$\sqrt{2}$，
∴△BGH∽△BAC，
∴$\frac{GH}{AC}$=$\frac{BH}{BC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
∴x=$\frac{12}{7}$，
∴△COF∽△CGH，
∴$\frac{OF}{GH}$=$\frac{OC}{CG}$，
∴$\frac{1}{\frac{12}{7}}$=$\frac{\sqrt{2}}{CG}$，
∴CG=$\frac{12}{7}$$\sqrt{2}$，
∴OG=$\frac{5}{7}$$\sqrt{2}$，
∴DG=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，以及三角形的相似和勾股定理，是一道综合性的题目，中考的常见题型，要熟练掌握．