Question

如图，P是正方形ABCD内一点，PA=3，PB=6，PC=9．求∠APB的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理的逆定理,正方形的性质

专题：计算题

分析：先根据正方形的性质得到BA=BC，∠ABC=90°，于是把△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连结PE，如图，再根据旋转的性质得BE=BP=6，CE=AP=3，∠CEB=∠APB，∠PBE=90°，所以△PBE为等腰直角三角形，则PE=

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PB=6

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，∠PEB=45°，然后利用勾股定理的逆定理可证明△PEC为直角三角形，得到∠PEC=90°，则∠CEB=∠PEC+∠PEB=135°，因此∠APB=135°．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CBE，连结PE，如图，
∴BE=BP=6，CE=AP=3，∠CEB=∠APB，∠PBE=90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE=

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PB=6

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，∠PEB=45°
在△PCE中，∵PC²=81，CE²=9，PE²=72，
∴PC²=CE²+PE²，
∴△PEC为直角三角形，∠PEC=90°，
∴∠CEB=∠PEC+∠PEB=135°，
∴∠APB=135°．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．