Question

用30m长的篱笆和相邻两面墙围成如图形状的小花园，其中AB=CD．设BC=x（m），小花园的面积为S（m²）．求：
（1）S关于x的函数表达式；
（2）S的最大值，以及当S达到最大值时AB，BC，CD的长．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：应用题

分析：（1）延长DC交AB于E点，如图，先证明△BCE为等腰直角三角形，则BE=CE=

2

2

x，由于AB=DC=

30-x

2

=15-

1

2

x，则AE=DE=AB+BE=15-

1

2

x+

2

2

x，然后利用小花园的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形的面积得到S=（15-

1

2

x+

2

2

x）²-

1

2

•（

2

2

x）²=-

2 -1

2

x²+15（

2

-1）x+225；
（2）把（1）的解析式进行配方得到S=-

2 -1

2

（x-15）²+

225( 2 +1)

2

，则根据二次函数的最值问题得到当x=15时，S有大值为

225 2 +225

2

，然后计算15-

1

2

x得到AB和CD的长．

解答：解：（1）延长DC交AB于E点，如图，
∵∠DCB=135°，
∴∠BCE=45°
而∠CBE=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE=CE=

2

2

x，
∵AB=DC=

30-x

2

=15-

1

2

x，
∴AE=DE=AB+BE=15-

1

2

x+

2

2

x，
∴S=（15-

1

2

x+

2

2

x）²-

1

2

•（

2

2

x）²
=-

2 -1

2

x²+15（

2

-1）x+225
（2）S=-

2 -1

2

（x-15）²+

225( 2 +1)

2

，
∵a=-

2 -1

2

＜0，
∴当x=15时，S有大值为

225 2 +225

2

，
此时BC=15cm，AB=DC=15-

1

2

x=7.5（cm）．

点评：本题考查了二次函数的应用：几何图形中的最值问题，几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．