如图.将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中.F是AB边上的动点.过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$与OA边交于点E.过点F作FC⊥x轴于点C.连结EF.OF．(1)若S△OCF=$\sqrt{3}$.求反比例函数的解析式．的条件下.试判断以点E为圆心.EA长为半径的圆与y轴的位置关系.并说明理由．(3)在AB边上是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S_△OCF=$\sqrt{3}$，求反比例函数的解析式．
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．
（3）在AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；
（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．

解答解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S_△OCF=$\frac{1}{2}$xy=$\sqrt{3}$，
∴xy=2 $\sqrt{3}$，
∴k=2 $\sqrt{3}$，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）；

（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB=$\frac{EH}{OH}$=$\sqrt{3}$，
∴EH=$\sqrt{3}$m，OE=2m，
∴E坐标为（m，$\sqrt{3}$m），
∵E在反比例y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$图象上，
∴$\sqrt{3}$m=$\frac{2\sqrt{3}}{m}$，
∴m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴OE=2 $\sqrt{2}$，EA=4-2 $\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{2}$，
∵4-2 $\sqrt{2}$＜$\sqrt{2}$，
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；

（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，

∴BC=FB•cos∠FBC=$\frac{1}{2}$x，FC=FB•sin∠FBC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-$\frac{1}{2}$x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2-$\frac{1}{2}$x，
∴OE=OA-AE=$\frac{1}{2}$x+2，
∴OH=OE•cos∠AOB=$\frac{1}{4}$x+1，EH=OE•sin∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$，
∴E（ $\frac{1}{4}$x+1，$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$），F（4-$\frac{1}{2}$x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∵E、F都在双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴（ $\frac{1}{4}$x+1）（ $\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\sqrt{3}$）=（4-$\frac{1}{2}$x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
解得：x₁=4，x₂=$\frac{4}{5}$，
∵F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），
∴x=4不合题意，
∴BF=$\frac{4}{5}$时，EF⊥AE．