Question

16．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，…，∠A_n-1BC的平分线与∠A_n-1CD的平分线交于点A_n．设∠A=θ．则：
（1）求∠A₁的度数；
（2）∠A_n的度数．

Answer 1

分析 据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可求出∠A₁的度数，同理求出∠A₂，可以发现后一个角等于前一个角的$\frac{1}{2}$，根据此规律即可得解．

解答 解：∵A₁B是∠ABC的平分线，A₁C是∠ACD的平分线，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=β，
∴∠A₁=$\frac{β}{2}$；
同理可得∴∠A_n=$\frac{β}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$是解题的关键．