题目内容

12．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
（1）填空：若∠BAF=18°，则∠DAG=27°；
（2）若当点F在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设FC=x，DG=y，试求y与x之间的函数关系式；
（3）若$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，请求出$\frac{FC}{FH}$的值．

分析 （1）由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC=∠GAF=45°，于是得到∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，推出∠HAG=∠BAF=18°，由于∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，于是得到结论；
（2）由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，由于∠DAG=∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；
（3）设BF=k，CF=2k，则AB=BC=3k，根据勾股定理得到AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（3k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，AC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$k，由于∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠BAC=∠GAF=45°，
∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠GAC=45°，
∴∠HAG=∠BAF=18°，
∵∠DAG+∠GAH=∠DAC=45°，
∴∠DAG=45°-18°=27°，
故答案为：27．

（2）∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AG}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AG}{AF}$，
∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC=45°，
∴∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△CAF，
∴$\frac{DG}{CF}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴y=$\frac{\sqrt{2}x}{2}$；

（3）∵$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
设BF=k，CF=2k，则AB=BC=3k，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（3k）^{2}+{k}^{2}}$=$\sqrt{10}$k，AC=$\sqrt{2}$AB=3$\sqrt{2}$k，
∵四边形ABCD，AEFG是正方形，
∴∠AFH=∠ACF，∠FAH=∠CAF，
∴△AFH∽△ACF，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{FH}{CF}$，
即：$\frac{\sqrt{10}k}{3\sqrt{2}k}=\frac{FH}{2K}$，
∴FH=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$k，
∴$\frac{CF}{FH}$=$\frac{2k}{\frac{2\sqrt{5}k}{3}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．

练习册系列答案
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月份x123456789
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（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p2（万件）与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

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