Question

5．如图，已知⊙O内接△ABC，D为$\widehat{BC}$中点，AD交BC于E点，过B作⊙O的切线交CD延长线于F点，AE=3，DE=1，BF=$\sqrt{15}$，求CF的长．

Answer 1

分析 先证明△ADC∽△CDE，得出对应边成比例AD：CD=CD：DE，求出CD，设CF=x，则FD=x-2，由切割线定理得出BF²=FD•CF，得出方程，解方程即可．

解答 解：∵D为$\widehat{BC}$中点，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠DCB，
∵∠ADC=∠CDE，
∴△ADC∽△CDE，
∴AD：CD=CD：DE，
∴CD²=AD•DE=4，
∴CD=2，
设CF=x，则FD=x-2，
由切割线定理得：BF²=FD•CF，
即x（x-2）=15，
解得：x=5，或x=-3（舍去），
∴CF=5．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理；熟练掌握切线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．