Question

【题目】如图，在直角坐标系xOy中，矩形ABCD的DC边在x轴上，D点坐标为（﹣6，0）边AB、AD的长分别为3、8，E是BC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AD边交于点F．

（1）求k的值及经过A、E两点的一次函数的表达式；

（2）若x轴上有一点P，使PE+PF的值最小，试求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接EF、PE、PF，在直线AE上找一点Q，使得S△QEF＝S△PEF直接写出符合条件的Q点坐标．

Answer 1

【答案】（1）k＝－12，y＝﹣x；（2）P（﹣5，0）；（3）Q（﹣，）或（﹣，）．

【解析】

（1）先确定点B，C坐标，进而得出点E坐标，最后用待定系数法即可求出直线AE解析式；

（2）先找出点F关于x轴的对称点F′的坐标，进而求出直线EF′的解析式，进一步即可得出结论；

（3）先求出△PEF的面积，再求出直线EF的解析式，设出点Q的坐标，利用坐标系中求三角形面积的方法建立方程求解，进而得出结论．

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝8，

∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝8，

∵D（﹣6，0），

∴A（﹣6，8），C（﹣3，0），B（﹣3，8），

∵E是BC的中点，

∴E（﹣3，4），

∵点E在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝﹣3×4＝﹣12，

设经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝k′x+b，

∴，解得，

∴经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝﹣x；

（2）如图1，由（1）知，k＝﹣12，

∴反比例函数的解析式为y＝﹣，

∵点F的横坐标为﹣6，∴点F的纵坐标为2，∴F（﹣6，2），

作点F关于x轴的对称点F′，则F′（﹣6，﹣2），

连接EF′交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，

∵E（﹣3，4），

∴直线EF′的解析式为y＝2x+10，

令y＝0，则2x+10＝0，解得x＝﹣5，

∴P（﹣5，0）；

（3）如图2，由（2）知，F′（﹣6，﹣2），

∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），

∴S△PEF＝S△EFF′﹣S△PFF′＝×（2+2）×（﹣3+6）﹣（2+2）×（﹣5+6）＝4，

∵E（﹣3，4），F（﹣6，2），

∴直线EF的解析式为y＝x+6，

由（1）知，经过A、E两点的一次函数的表达式为y＝﹣x，

设点Q（m，﹣m），

过点Q作y轴的平行线交EF于G，

∴G（m，m+6），

∴QG＝|﹣m﹣m﹣6|＝|2m+6|，

∵S△QEF＝S△PEF，

∴S△QEF＝|2m+6|×（﹣3+6）＝4，

∴m＝﹣或m＝﹣，

∴Q（﹣，）或（﹣，）．