Question

14．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．求DE的长．

Answer 1

分析 连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，由垂径定理得AH=$\frac{1}{2}$AC=3，根据勾股定理得到OH=$\sqrt{52-32}$=4，根据切线的性质得到OD⊥DE，∠ODE=90°，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，等量代换得到∠CAD=∠ODA，根据平行线的性质得到∠E=180°-90°=90°，根据矩形的性质得到结论．

解答 解：连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，
由垂径定理得AH=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△AOH中，OH=$\sqrt{52-32}$=4，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，∠ODE=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠E=180°-90°=90°，
又OH⊥AC，
∴∠OHE=90°，
∴四边形ODEH为矩形，
∴DE=OH=4．

点评 本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．