Question

【题目】如图，AB是直经，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）试探究AE，AD，AB三者之间的等量关系．

（3）若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD2=AEAB；（3）BF=．

【解析】

（1）根据圆的性质可知∠ACB=90°，从而结合DE⊥AC证明出BC∥DE，再利用点D是的中点得出∠COD=∠BOD，进一步证明OD垂直平分BC，然后利用平行线性质即可证明出结论；

（2）根据题意首先证明△AED∽△ADB，然后利用相似三角形性质进一步求解即可；

（3）根据题意可得四边形CHDE为矩形，然后进一步根据图形结合勾股定理可得AE=AC+CE=9，最后通过证明△EAD∽△BAF进一步求解即可.

如图，连接OC，OD，BC，OD与BC交于点H，

（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°．

∵DE⊥AC于E，

∴∠E=90°，

∴∠ACB=∠E，

∴BC∥DE．

∵点D是的中点，

∴，

∴∠COD=∠BOD，

又∵OC=OB，

∴OD垂直平分BC．

∵BC∥DE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）AD2=AEAB．理由如下：

由（1）知，，

∴∠EAD=∠DAB．

∵AB为直径，

∴∠ADB=∠E=90°，

∴△AED∽△ADB，

∴，

即AD2=AEAB；

（3）由（1）知，∠E=∠ECH=∠CHD=90°，

∴四边形CHDE为矩形，

∴ED=CH=BH=3，

∴OH=，

∴CE=HD=OD﹣OH=5﹣4=1，AC=，

∴AE=AC+CE=9．

∵BF是⊙O的切线，

∴∠FBA=∠E=90°，

又∵∠EAD=∠DAB，

∴△EAD∽△BAF，

∴，

即，

BF=．