Question

【题目】如图，二次函数的图象经过原点和，与轴交于另一点，且对称轴是．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若是上的一点，作，交于点，当的面积最大时，求点的坐标；

（3）是轴上的点，过作轴，与抛物线交于点，过作轴于，是否存在点，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为，，或．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为，将原点和代入；列出方程组即可解答；
（2）求出点的坐标为，设M，根据，得

，列出相似比得到，再由，得到关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可解答；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，分两种情况进行讨论，①当时，②当时，分别列出相似比，得到关于n的方程即可求出点P的坐标．

解：（1）设抛物线的解析式为，将原点和代入得：

解得

所以

（2）由，得，

∴点的坐标为，设点的坐标为，点的纵坐标为

由，得

∴

∴

∴

∴当时，最大

所以点的坐标为

（3）设点的坐标为，则点的坐标为

①当时，则

∴

∴

解这个方程，得，（不合题意，舍去），

∴点的坐标为或

②当时，

∴

∴

解这个方程，得，（不合题意，舍去），

∴点的坐标系为或

综上所述，点的坐标为，，或．