Question

如图，经过原点的直线交双曲线y=-

3

x

(x＜0)于点P，过P分别作x轴、y轴的垂线PA、PB，分别交双曲线y=

k

x

(x＜0)于C、D，连接CD，若

CD

OP

=

2

3

，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：设P（a，-

3

a

），则D（-

ak

3

，-

3

a

），C（a，

k

a

）．连接AB，进而得出

PC

PA

=

3+k

3

=

PD

PB

，再证明△CPD∽△APB，根据相似三角形对应边成比例得到

PC

PA

=

CD

AB

=

2

3

，那么可用含a的代数式表示C点坐标，进而得出答案．

解答：解：设P（a，-

3

a

），则D（-

ak

3

，-

3

a

），C（a，

k

a

）．
连接AB，在矩形OAPB中，∵OP=AB，
∴

CD

AB

=

CD

OP

=

2

3

，
∵

PC

PA

=

3+k

3

=

PD

PB

，且∠CPD=∠APB，
∴△CPD∽△APB，
∴

PC

PA

=

CD

AB

=

2

3

，
∴PC=

2

3

PA=

2

3

×（-

3

a

）=-

2

a

，
∴AC=PA-PC=-

3

a

-（-

2

a

）=-

1

a

，
∴C（a，-

1

a

）．
∵双曲线y=

k

x

(x＜0)经过点C，
∴k=a×（-

1

a

）=-1．
故答案为-1．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的性质和判定，计算得出

PC

PA

=

3+k

3

=

PD

PB

，进而表示出C点坐标是解题关键．