Question

如图，已知△ABC中AB=AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD，
①直接写出∠BDC与∠BAC之间的关系式；
②求证：△ABD为等腰三角形；
③当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：①由外角关系∠BDC+

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∠ABC=

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∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，即可得出∠BDC=

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∠BAC；
②作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，先证DM=DN，得出AD平分∠CAG，再证明AD∥BC，证出∠ABD=∠ADB，即可证出AB=AD，△ABD为等腰三角形；
③由△ABF是等腰三角形，∠BAF只能为底角，得出AF=BF，∠BAF=∠ABF=

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∠ABC，再根据∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，求出∠ABC=72°．

解答：解：①∠BDC=

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∠BAC．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+

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∠ABC=

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∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+

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∠ABC=

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∠BAC+

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∠ABC，
∴∠BDC=

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∠BAC．
②作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示：
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）∠EBA=72°；
根据题意，∵△ABF是等腰三角形，∠BAF只能为底角，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=

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∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴

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∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及平行线的判定与性质；弄清各个角之间的关系进行推理论证与计算是解题的关键．