Question

15．如图，正方形ABCD中，CD=5，BE=CF，且DG²+GE²=28，则AE的长$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接DE，由正方形的性质得出AB=BC=CD=DA=5，∠A=∠BCD=∠B=90°，由SAS证明△BCE≌△CDF，得出对应角相等∠BEC=∠CFD，再由角的互余关系证出△DGE是直角三角形，由勾股定理求出DE²，AE²，即可得出AE的长．

解答 解：连接DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=5，∠A=∠BCD=∠B=90°，
在△BCE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠B=∠FCD}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠BEC=∠CFD，
∵∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠CFD+∠BCE=90°，
∴∠DGE=∠CGF=90°，
∴DE²=DG²+GE²=28，
∴AE²=DE²-AD²=28-25=3，
∴AE=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．