Question

3．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将?ABCO绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜90°）得到?DEFO，点A的对应点点D恰好落在x轴的正半轴上，且DE经过点A．
（1）若点F在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图形上，求α及k的值．
（2）求旋转过程中?ABCO扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）作FG⊥x轴于G．求出点F的坐标即可解决问题．
（2）由图象可知，平行四边形ABCO扫过的面积可由扇形OCF、平行四边形ABCO、扇形OAD的面积之和减去△OAD的面积得到，分别计算即可．

解答 解：（1）作FG⊥x轴于G．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥CO，
∵OD∥AB，∠AOD=α°，
∴∠BAO=∠DOA=α°，
∵?ABCO绕点O顺时针旋转α°（0＜α＜90°）得到?DEFO，
∴∠BAO=∠ODA=α°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=α°，
在△AOD中，α°+α°+α°=180°，
∴α=60，
∵OF=6，
∴OG=3，FG=3$\sqrt{3}$，
∵F在第二象限，
∴F（-3，3$\sqrt{3}$），
∵y=$\frac{k}{x}$经过点F，
∴k=-9$\sqrt{3}$．

（2）由图象可知，平行四边形ABCO扫过的面积可由扇形OCF、平行四边形ABCO、扇形OAD的面积之和减去△OAD的面积得到，
∵OC=6，α=60，
∴S_扇形OCF=$\frac{60•π•{6}^{2}}{360}$=6π，
∵BC=2，
∴平行四边形ABCO的BC边上的高为$\sqrt{3}$，
∴S_{平行四边形ABCO}=6$\sqrt{3}$，
∵OA=2，
∴S_扇形OAD=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，S_△AOD=$\frac{1}{2}$•2$•\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S=6$π+6\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$=$\frac{20}{3}$π+5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查反比例函数的性质、旋转变换、平行四边形的性质、扇形的面积公式、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．