Question

6．如图，△ABC、△ADE都是等边三角形，点G为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AE=1，将△ADE绕点A旋转．
①当∠EAC=60°时，求GB的长；
②点N为CE的中点，在整个旋转过程中，求线段AN长的范围．

Answer 1

分析 （1）欲证明BD=CE，只要证明△ACE≌△BAD即可．
（2）①由∠EAC=60°，推出点E在线段AB上，由AB=2，AE=1，推出BE=AE，由CB=CA，推出CE平分∠BCA，CE⊥AB，推出∠ACE=∠ABD=30°，在R△tBEG中，BE=1，∠BEG=90°，∠EBG=30°，解直角三角形即可．
②求出AN的最大值和最小值即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠CAB=∠EAD=60°，
∴∠EAC=∠DAB，
在△CAE和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BAD，
∴CE=BD．

（2）①解：如图2中，

∵∠EAC=60°，
∴点E在线段AB上，
∵AB=2，AE=1，
∴BE=AE，∵CB=CA，
∴CE平分∠BCA，CE⊥AB，
∴∠ACE=∠ABD=30°，
在R△tBEG中，BE=1，∠BEG=90°，∠EBG=30°，
∴BG=$\frac{BE}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

②解：如图3中，当点N在线段AC上时，AN的值最大，最大值为$\frac{3}{2}$．

如图4中，当点E在线段CA的延长线时，AN的值最小，最小值为$\frac{1}{2}$，

综上所述，$\frac{1}{2}$≤AN≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．