Question

1．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2AB，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒．当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P、Q的速度分别为v₁、v₂（cm/s），点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，试探究a与b满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ABCD为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定，根据勾股定理即可求AF的长；
（2）①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；
②由①的结论用v₁、v₂表示出A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时所需的时间，计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC．
∵在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ACB}\\{∠AEF=∠CFE}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形．
设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5；
（2）①解：根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．
∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{4}{3}$秒；
②由①得，PC=QA时，以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
设运动时间为y秒，
则yv₁=12-yv₂，
解得，y=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$，
∴a=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v₁，b=$\frac{12}{{v}_{1}+{v}_{2}}$×v₂，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

点评 本题考查的是菱形的判定、平行四边形的性质和判定，掌握平行四边形的性质定理和判定定理、菱形的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．