Question

16．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：AD²+DB²=DE²．

Answer 1

分析 已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，则DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因为两角有一个公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD，得出∠DAE=90°，AE=DB，从而求出AD²+DB²=DE²．

解答 证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°，AE=DB，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45度，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD²+AE²=DE²，
∴AD²+DB²=DE²．

点评 本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．解题时注意：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．