Question

6．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2$\sqrt{2}$，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．

Answer 1

分析 根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．

解答 解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC=$\sqrt{2}$，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°-90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=$\sqrt{2}$，
在等腰三角形MNO中，NO=$\sqrt{2}$MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD=$\sqrt{O{G}^{2}+G{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
即圆O的半径为$\sqrt{10}$，
故S_阴影=S_扇形OBD=$\frac{90π×（\sqrt{10}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{2}$π．

点评 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．