如图.在平面直角坐标系中.直线l的表达式是y=-x+1.长度为2的线段AB在y轴上移动.设点A的坐标为(0.a)．(1)当以A为圆心.AB为半径的圆与直线l相切时.求a的值,(2)直线l上若存在点C.使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形.则a的取值范围为-2$\sqrt{2}$+1≤a≤2$\sqrt{2}$+3,(3)直线l上是否存在点C.使得∠ACB=90°?若存在.求出a的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式是y=-x+1，长度为2的线段AB在y轴上移动，设点A的坐标为（0，a）．

（1）当以A为圆心，AB为半径的圆与直线l相切时，求a的值；
（2）直线l上若存在点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则a的取值范围为-2$\sqrt{2}$+1≤a≤2$\sqrt{2}$+3；
（3）直线l上是否存在点C，使得∠ACB=90°？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

分析（1）当⊙A与直线l相切时，设切点为M，则AM⊥DE，根据∠ADM=45°，OD=1，求出AD，再分类讨论，即可求得OA的长，从而求得a；
（2）过点A作AC⊥l于点C，使AC=AB=2，根据①可直接得出a，当点A移动到点D的上方A′处时，过点B′作B′C′⊥l于点C′，使B′C=AB=2，再求出a，最后根据若使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则点A在线段AA′上，即可得出a的取值范围；
（3）以AB为直径作⊙Q，点Q在点D下方，使⊙Q与直线l相切于点C，则∠ACB=90°，根据∠ODE=45°求出DQ从而得出点A的纵坐标，求出a，当点Q在点D上方的Q′点时，作⊙Q′与直线l相切于点C′，则∠AC′B=90°，同理求出点A的纵坐标，求出a，最后根据⊙Q的圆心在点Q与Q′之间时，∠ACB=90°，即可求出a的取值范围．

解答解：（1）设A与直线l相切时，设切点为M，连接AM，则AM⊥DE．
∵直线l的表达式为y=-x+1，
∴D（0，1）、E（1，0）．
∴∠ADM=45°，
∴△AMD是等腰直角三角形，
∵AM=2，
∴AD=2$\sqrt{2}$．
①当A点在D点下方时，OA=AD-OD=2$\sqrt{2}$-1，则a=1-2$\sqrt{2}$．
②当A点在D点上方时，OA=OD+AD=2$\sqrt{2}$+1，则a=2$\sqrt{2}$+1．
所以a=1-2$\sqrt{2}$或2$\sqrt{2}$+1．

（2）如图：
过点A作AC⊥l于点C，使AC=AB=2，
由①得：a=-2$\sqrt{2}$+1，
当点A移动到点D的上方A′处时，过点B′作B′C′⊥l于点C′，使B′C′=AB=2，
同理可得：B′D=2$\sqrt{2}$，
则a=2$\sqrt{2}$+1+2=2$\sqrt{2}$+3，
∵若使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则点A在线段AA′上，
∴a的取值范围为-2$\sqrt{2}$+1≤a≤2$\sqrt{2}$+3，
故答案为：-2$\sqrt{2}$+1≤a≤2$\sqrt{2}$+3；

（3）以AB为直径作⊙Q，点Q在点D下方，使⊙Q与直线l相切于点C，
则QC⊥l，QC=QA=1，∠ACB=90°，
∵∠ODE=45°，
∴DC=QC=1，
∴DQ=$\sqrt{2}$，
∴AD=DQ-AQ=$\sqrt{2}$-1，
∴点A的纵坐标为1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴a=2-$\sqrt{2}$，
当点Q在点D上方的Q′点时，作⊙Q′与直线l相切于点C′，
则∠AC′B=90°，同理可得DQ′=$\sqrt{2}$，
∴AQ′=1，
∴AD=AQ′+DQ′=$\sqrt{2}$+1，
∴AO=AD+OD=$\sqrt{2}$+1+1=$\sqrt{2}$+2，
∴点A的纵坐标为$\sqrt{2}$+2，
∴a=$\sqrt{2}$+2，
∵⊙Q的圆心在点Q与Q′之间时，∠ACB=90°，
∴a的取值范围为2-$\sqrt{2}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．