Question

1．已知关于x的一元二次方程x²+（k+1）x+$\frac{1}{2}$k-1=0
（1）求证：不论k为何实数，方程总会有两个不相等的实数根；
（2）当k=4时，用配方法解出这个一元二次方程．

Answer 1

分析 （1）先进行判别式得到△=（k+1）²-4（$\frac{1}{2}$k-1），再根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）代入k的值得出一元二次方程，用配方法解方程即可．

解答 （1）证明：△=（k+1）²-4（$\frac{1}{2}$k-1）=k²+5，
∵k²≥0，
∴k²+5＞0，
∴不论k为何实数，方程总会有两个不相等的实数根；
（2）解：当k=4时，方程为x²+5x+3=0，
x²+5x+$\frac{25}{4}$=$\frac{25}{4}$-3
（x+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{13}{4}$
x+$\frac{5}{2}$=±$\frac{\sqrt{13}}{2}$
x₁=-$\frac{5}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$-$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及利用配方法解一元二次方程．