Question

6．如图，正方形ABCD中，点M为DA延长线上一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD于点N，在CD延长线上取一点F，使BM=CF-DN，连接BF，交CN于点E．
求证：BC=EC．

Answer 1

分析 过点B作BG⊥CN，交CD于点G，先证明△BCG≌△CDN，得出BG=CN，CG=DN，再证出CN=BM，得出BG=FG，得出∠FBG=∠F  然后证出∠EBC=∠BEC，即可得出结论．

解答 证明：过点B作BG⊥CN，交CD于点G，则∠2+∠BCN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDA=90°，
即∠1+∠BCN=90°，
∴∠2=∠1，
在△BCG和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}&{\;}\\{BC=CD}&{\;}\\{∠BCG=∠CDN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△CDN（ASA），
∴BG=CN，CG=DN，
∵MN∥BC，BM∥CN，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴CN=BM，
∴BG=BM=CF-DN=CF-CG=FG，
∴∠FBG=∠F，
∵∠EBC=∠2+∠FBG，∠BEC=∠1+∠F，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=EC．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．