Question

18．将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE，过B′作B′P∥BC，交AE于点P，连接BP．已知BC=3，CB′=1，下列结论：
①AB=5；
②sin∠ABP=$\frac{3}{5}$；
③四边形BEB′P为菱形；
④S_{四边形BEB′P}-S_△ECB′=1，
其中正确的是①③④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质和勾股定理列方程求解，①正确；
（2）根据翻折的性质和B′P∥BC证明B′P=BE，四边形BEB′P为平行四边形，再由BE=B′E，四边形BEB′P为菱形，③正确；
（3）延长B′P与AB交于点M，则PM⊥AB，根据勾股定理得到BE，进而求出BP、PM，sin∠ABP=$\frac{4}{5}$≠$\frac{3}{5}$；故②错误；
（4）S_{四边形BEB′P}-S_△ECB′=BE×CB′-$\frac{1}{2}$CE×CB′=1，④正确．

解答 解：（1）设AB=CD=x，根据翻折的性质AB=AB′=x，B′D=x-1，AD=3
∴x²=（x-1）²+3²，
解得：x=5，
∴①正确；
（2）∵B′P∥BC，
∴∠BEP=∠B′PE，
根据翻折的性质∠BEP=∠B′EP，
∴∠B′EP=∠B′PE，
∴B′E=B′P，
∵BE=B′E，
∴BE=B′P，
∴四边形BEB′P为菱形，
∴③正确；
（3）延长B′P与AB交于点M，则PM⊥AB，
设BE=m，则CE=3-m，CB′=1，
∴m²=（3-m）²+1²，
解得：m=$\frac{5}{3}$，
∴BE=BP=B′P=$\frac{5}{3}$，
∴CE=PM=$\frac{4}{3}$，
∴sin∠ABP=$\frac{PM}{BP}$=$\frac{4}{5}$，
∴②错误；
（4）S_{四边形BEB′P}-S_△ECB′=BE×CB′-$\frac{1}{2}$CE×CB′=$\frac{5}{3}×1-\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×1$=1，
∴④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．