Question

15．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=8，D是线段AB上的一个动点，将Rt△ABC由点C到点D的方向平移2个单位得到Rt△A′B′C′，且C′A′与AB交于点E．
（1）当D是线段AB的中点时，求CD和AE的长；
（2）当$\frac{C′E}{CA}$=$\frac{3}{5}$时，求CD和AE的长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线性质容易得出CD的长；由平行线得出比例式，求出C′E，即可得出AE的长；
（2）由平行线得出比例式，容易求出CD的长；再求出C′E，即可得出AE的长．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CA=CB，AB=8，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∵D是线段AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵C′E∥AC，
∴$\frac{C′E}{AC}=\frac{C′C}{DC}$，
即$\frac{C′E}{4\sqrt{2}}=\frac{4-2}{2}$，
解得：C′E=2$\sqrt{2}$，
∴AE=4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$；
（2）设CD=x，
∵C′E∥AC，
∴$\frac{DC′}{DC}=\frac{C′E}{AC}$，
即$\frac{x-2}{x}=\frac{3}{5}$，
解得：x=5，
∴CD=5，
∵AC=4$\sqrt{2}$，$\frac{C′E}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴C′E=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$，
∴AE=4$\sqrt{2}$-$\frac{12\sqrt{2}}{5}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了平移的性质、平行线得出比例式的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平移的性质和平行线得出比例式的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．